안녕하세요!
오늘은 MMA(Money Market Account)에 대한 소개와 MMA 가치 계산에 대한 방법을 소개해드리려고 합니다!
다만 오늘 글은 MMA 내용은 현실 속 투자상품으로서의 이율 형태나 장단점을 소개하는 것이 아닙니다.
그보다는 금융공학의 이론에 바탕한 MMA의 의미와 가치 평가 방법이니 참고 부탁드립니다.
보통 MMA는 그 약어 자체로 쓰이지만, 굳이 길게 표현하면 '머니 마켓 계좌' 혹은 '단기 금융시장 계좌'가 될 것 같습니다.
MMA는 파생상품 시장에서 중요한 역할을 하는데요.
그것은 MMA가 전통적 위험중립 세상에서 다른 수많은 파생상품을 평가하는 뉴메리어(Numeraire)가 되기 때문입니다.
뉴메리어라는 단어가 어색하신 분들을 위해 간단한 예시를 통해 설명드리겠습니다.
만약 마트에서 과자 한 봉지가 2,000원이고, 껌 한 통이 1,000원이라면 우리는 '원'이라는 기준을 통해
과자가 껌보다 두 배의 가치가 있다는 것을 알 수 있습니다.
즉 마트에서의 뉴메리어는 '원'이 되는 것이고, 이렇듯 뉴메리어는 '어떠한 비교를 위한 기준'이라고 이해하시면 될 것 같습니다.
이렇듯 파생상품에서 뉴메리어가 될만큼 중요한 MMA는 조금 거칠게 생각하면, 은행에 예금한 계좌라고 생각하셔도 될 것 같습니다.
우리는 은행에 돈을 예금하면 정해진 기준에 따라 이자를 받습니다.
그러면 여기서 이자액에 영향을 미치는 요소는 크게 3가지가 있습니다.
1) 예금액
2) 이자율
3) 예치 기간
당연하게도 예금액이 많을수록, 이자율이 높을수록, 예치 기간이 길수록 우리가 해당 계좌를 통해서 받는 이자액은 많아질 것입니다.
그렇다면 이를 조금 수리적으로 접근하면, 우리가 알고 싶은 특정 시점에 처음 예치한 금액과 이자까지 합쳐서 총 계좌에
얼마가 있을지가 궁금해집니다.
이를 수식으로 최종적인 답만 말씀드리면 하단의 공식과 같습니다.
( \( B_t \) : t시점에서의 MMA의 가치, \( B_0\) : 처음 MMA에 예치한 금액, \( r(s) \) : 이자율)
최종적인 수식 결과만 보여드려 살짝 당황스러우실 수도 있겠지만, 천천히 과정을 설명드리며 최종 공식으로 다가가 보겠습니다.
1) t시간후에 MMA의 총액은 어떻게 될까?
1년에 \( r(s) \) 만큼의 이율을 가진 은행이 있다고 가정해봅시다.
그러면 우리가 \( B_0\)만큼 은행에 돈을 계좌에 예치하면,
1년 후 계좌에 있는 총액 \( B_t \)는 \( B_ 0 (1 + r(s)) \)와 같아질 것입니다.
그렇다면 만약에 1년이 아니라 100일만 예치한다면 100일 후의 계좌 총액은 어떻게 될까요?
그것은 ( \( B_t \) = \( B_ 0 \left(1 + \frac{100}{365} \cdot r(s)\right) \) 이렇게 됩니다.
이는 일 년이 365일이고, 100일 동안만 예치를 했으므로, 이자가 붙는 부분에 \( \frac{100}{365} \) 를 곱해줘야 하기 때문입니다.
즉 처음에 1년을 예치한 경우에도 사실은 \( B_ 0 \left(1 + \frac{365}{365} \cdot r(s)\right) \) 처럼 \( r(s) \) 부분에 \( \frac{365}{365} \) 가 숨겨져 있던 것이지요.
그러면 딱 하루만 예치를 한 경우에 계좌의 총액은 당연히 ( \( B_t \) = \( B_ 0 \left(1 + \frac{1}{365} \cdot r(s)\right) \) 이 됩니다.
2) 아주 짧은 \( \Delta t \) 시간 후에 내가 받을 이자는 어떻게 될까?
1)의 과정을 좀 더 일반화하여 표현하면 다음과 같은 식이 됩니다.
\[ B_{t+\Delta t} = B_t(1 + r(t) \cdot \Delta t) \]
(이때 \( \Delta t \)는 예치한 시간을 의미합니다.)
그렇다면 \( \Delta t \)를 계속해서 0에 가깝게, 즉 시간을 계속해서 쪼개 본다면 우리가 처음에 예치한 순간의 계좌 총액과 아주 짧은 시간 \( \Delta t \)만큼 시간이 지난 후의 계좌 총액의 차이는 어떻게 될까요?
이는 \( B_{t+dt} - B_t \)이 됩니다.
(이번에는 계좌 총액이 아닌 처음 계좌에 예치했을 때와 \( \Delta t \) 시간 후에 계좌 예치액의 차이, 즉 \( \Delta t \) 시간동안 받은 이자액만을 구한 것에 주목해야 합니다.)
3) 연속복리
그렇다면 왜 자꾸 시간을 점점 쪼개면서 우리가 받는 이자액을 계산해 본 것일까요?
수학적인 이해가 깊으신 분은 쉽게 눈치 채셨겠지만, 이는 예치하는 시간이 무한히 짧아질 때 우리는 이자액을 연속복리(계산 주기가 아주 짧을 때 추가되는 복리)에 근사하여 계산할 수 있기 때문입니다.
즉 시간을 아주 짧게 쪼갰을 때,우리가 받는 이자는 마치 처음 예치한 원금에 이자를 더하고 그것에 또 이자가 붙는 복리처럼 계산할 수 있다는 것입니다.
따라서 아주 짧은 시간 동안 우리의 \( B_t \) 계좌의 총액 차이 \( dB_t \) 는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있습니다.
\( dB_t \) = \( B_{t+dt} - B_t \) = \( B_t \cdot r(t) \, dt \)
3) 공식 도출
자 거의 다 왔습니다!
이제 \( dB_t \) = \( B_t \cdot r(t) \, dt \) 라는 수식을 통해 우리가 제일 처음에 본 \( B_t = B_0 \cdot \exp\left(\int_0^t r(s) \, ds\right) \) 공식을 도출할 것입니다.
여기서부터는 금융적인 이해라기보다는 수학적 변형에 따른 도출입니다.
해당 과정을 이해하기 위해서는 기초 미적분과 지수함수 개념에 대한 배경지식이 필요합니다...!
만약 이 과정이 이해되지 않으시더라도 그냥 받아들이셔도 MMA를 이해하는데는 큰 문제가 없으리라 생각합니다.
3-1) \( dB_t \) = \( B_t \cdot r(t) \, dt \) 에서 양쪽에 ( \( B_t \) 를 나누면 다음과 같아집니다.
\[ \frac{dB_t}{B_t} = r(t) \, dt \]
3-2) 그리고 양쪽에 적분을 하면 다음과 같아집니다.
\[ \int \frac{1}{B_t} \, dB_t = \ln(B_t) = \int_0^t r(s) \, ds + C \]
3-3) 그 후 양쪽에 지수를 취합니다.
\[ B_t = \exp\left( \int_0^t r(s) \, ds + C \right) \]
이때 지수의 성질인 \(\exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b)\)을 활용하여 식을 변형하면
\[ B_t = \exp(C) \cdot \exp\left( \int_0^t r(s) \, ds \right) \]이 됩니다.
3-4) 식 도출
마지막으로 \( t = 0 \) 일때 \( B_0 = B_t \)이므로
\[ B_0 = \exp(C) \cdot \exp\left( \int_0^0 r(s) \, ds \right) \]라고 할 수 있습니다.
여기서 적분의 성질에 의해 \(\int_0^0 r(s) \, ds = 0\) 이므로
\[ B_0 = \exp(C) \]로 정리할 수 있습니다.
따라서 3-3)의 식에 \[ \exp(C) = B_0 \] 를 적용하면 우리가 제일 처음 본 식으로 깔끔하게 정리가 됩니다.
\[ B_t = B_0 \cdot \exp\left(\int_0^t r(s) \, ds\right) \]
이로써 파생상품의 가치평가에 쓰이는 MMA의 특정 시점 t에서의 가치를 수학적으로 구해보았습니다!
처음 보자마자 이해되지 않더라도 곰곰이 생각해보시면서 단계를 따라오시면 충분히 깨달음의 순간이 오실 것이라 생각 됩니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 조금이라도 도움이 되셨길 바랍니다!
''금'융' 카테고리의 다른 글
| [책] 전설로 떠나는 월가의 영웅 (4) | 2024.11.18 |
|---|
