안녕하세요! 

오늘은 미래가치(Future Value, FV)를 바탕으로 현재가치(Present Value, PV)를 계산하는 방법을 소개해드리려고 합니다! 

미래가치와 현재가치는 금융공학에서 아주 기초적인 개념이지만, 처음 접하신 분들에게는 다소 생소한 개념이 될 수 있으리라 생각합니다. 

이 두 단어를 이해하기 위해서는 돈과 시간의 개념을 결합시키는 것이 중요하고, 예시를 통해 간단히 설명드리겠습니다.

밑의 [사진1]은 1970년부터 2023년까지의 짜장면 가격의 변화를 보여주고 있습니다. 

자료에 따르면 2003년에는 짜장면 가격이 3,083원이라고 하네요.

하지만 그로부터 20년이 지난 후 2023년의 짜장면 가격은 6,361원입니다.

즉 20년의 시간 동안 짜장면 한 그릇의 가격은 두 배가 넘게 올랐다는 것이죠.

이 말을 표현만 다르게 한다면, 2003년의 3,083원의 가치는, 2023년의 3,083원의 가치의 두 배가 넘는다는 것입니다. 

같은 3,083원으로 2003년에는 짜장면 한 그릇을 살 수 있지만,  2023년에는 짜장면 반 그릇도 살 수 없기 때문이죠.

이렇듯 화폐는 일반적으로 미래로 갈수록 그 가치는 떨어집니다.

그 이유는 인플레이션, 유동성, 기회비용 다양한 것이 있지만 지금 집중하고 싶은 것은 이유보다는,

같은 금액의 돈이더라도 시간이 지나면 그 가치가 떨어진다는 점입니다.  

이 사실을 알게 되면 자연스럽게 우리는 미래에 받는 돈의 가치와 지금 받는 돈의 가치를 비교하고 싶어집니다. 

예를 들면 20년 뒤의 만 원의 가치와 지금 이 순간의 5,000원의 가치 중 어느 것이 더 클까? 라는 식으로 말이죠.  

그렇게 나온 단어가 미래가치와 현재가치입니다. 

위의 예시로 다시 돌아가서 짜장면을 기준하면, 2003년 시점에서 현재의 3,083원은 2023년 미래의 6,361원과 그 가치가 같습니다. 

각각의 시점에서 같은 짜장면 한 그릇을 살 수 있기 때문이죠.

물론 당연하게도 금융공학에서 실제 미래가치(FV)와 현재가치(PV)의 계산이 짜장면을 기준하여 하지는 않고, 다음과 같은 수식으로 이뤄집니다.

수식을 보시면 아시겠지만 꽤나 단순하게, PV는 FV에 \( e^{-r \Delta t} \) 를 곱해주면 됩니다. 

참고로 r은 이자율을 의미하고, 델타 t는 시간의 변화를 의미합니다. 

그러면 왜 FV에 \( e^{-r \Delta t} \) 곱해줘야 PV가 되는지 단계별로 유도해보겠습니다. 

1) 현재의 돈은 미래에 어떻게 되는가? 

이 식의 가장 핵심은 이자입니다.

우리는 은행에 돈을 넣고 시간이 지난 후 원금에 이자를 얹어서 받습니다. 

그러면 우리가 처음 예치한 원금을 V라고 했을때, 출금할 때의 변화량을 수식적으로 표현하면 다음과 같이 됩니다.  

\[
\frac{dV}{dt} = rV
\]

2) 변수 분리 

이제부터는 금융에 관한 개념보다는 수학적 개념에 들어가며,

최종적인 공식을 위해 식을 변형한다고 보시면 됩니다.

보시는 분에 따라 다소 어렵다고 느껴질 수 있으나, 따라오시면서 받아들이셔도 좋을 것 같습니다

각 변수를 분리합니다. 

4) 지수화 

이제 ln을 제거하기 위해 양변을 e의 지수로 바꿔주면 다음과 같은 식이 됩니다.

\(|V| = e^{rt + C}\)

그리고 이 식을 다르게 표현하면 다음과 같이 됩니다.

\(|V| = e^C \cdot e^{rt}\)

또한 \( e^C \)는 e의 성질에 의해 항상 양수값을 가집니다. 따라서 \( e^C \) 를 K라고 했을 때 식을 다음과 같이 절대값을 벗기고, 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

\(V = K \cdot e^{rt}\)

5) 초기조건 적용 

그 후 t=0일 때를 초기값으로 하고 식에 대입하면 이와 같이 됩니다.

\[
V_0 = K \cdot e^{r \cdot 0}
\]

그리고 K에 관한 식으로 바꿔 표현하면

\(K = V_0\)가 됩니다. 

따라서 최종적으로 t 시간의 변화에 따른 V의 변화를 나타내는 V(t)함수는 다음과 같이 표현 됩니다.

\(V(t) = V_0 \cdot e^{rt}\)

자 이제 다 왔습니다! 

이제 1)의 과정에 지금까지 도출한 식을 대입하면 다음과 같이 됩니다.

\(V(t) = V(0) \cdot e^{rt}\)

그러면 V(t)는 미래가치가 되는 것이고, V(0)은 t=0일때, 즉 현재가치가 됩니다.

따라서 다음과 같은 식이 완성되는 것이고, 

PV에 관한 식으로 표현하기 위해서는 양변에 \( e^{-r \Delta t} \)를 곱해주면,

미래가치를 바탕으로 현재가치를 계산하는 이 식을 도출해 낼 수 있습니다. 

이로써 금융공학에서 가장 기초적이자 필수적인 미래가치와 현재가치에 대한 개념과,

미래가치를 바탕으로 현재가치를 도출하는 것을 수학적으로 진행해보았습니다! 

아무래도 기본적인 지수, 미적분에 대한 개념이 필요하므로 보시는 분들에 따라 어려움이 다르게 느껴질 것이라 생각됩니다.

하지만 엄청 고난도의 수학적 개념을 요구하지는 않기 때문에 수학적 용어가 낯선 분들도 기본 수학 개념들을 공부해가며식을 보시면 충분히 이해하실 수 있으리라 생각합니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 조금이라도 도움이 되셨길 바랍니다!